Принцип наименьшего действия — фундаментальный принцип классической физики, утверждающий, что реальная траектория движения системы в пространстве и времени соответствует той, при которой действие (определённая физическая величина) принимает экстремальное значение, обычно минимум.

Основные положения:
Действие определяется как интеграл лагранжиана системы по времени:
𝑆 = ∫𝑡1𝑡2𝐿(𝑞,𝑞˙,𝑡)𝑑𝑡 , S=∫t1t2
​L(q, q˙,t)dt,
где 𝐿=𝑇−𝑉
L=T−V — лагранжиан, 𝑇 T — кинетическая энергия,
𝑉 V   — потенциальная энергия,
𝑞 q   — обобщённые координаты,
𝑞˙q˙— их производные по времени (обобщённые скорости).
Принцип: Из всех возможных траекторий система(!?) выбирает(!!!?) (почему !?) ту, для которой действие
𝑆 минимально или стационарно (производная вариации действия равна нулю:
(𝛿𝑆=0) (δS=0).
Математическая основа: Стационарность действия приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа:
𝑑𝑡(∂𝐿∂𝑞˙𝑖)−∂𝐿∂𝑞𝑖=0,dt d(q˙i∂L)− ∂q i ∂L=0, которые описывают динамику системы.

Физический смысл:

Принцип наименьшего действия отражает "экономичность" природы: система движется так, чтобы оптимизировать баланс между кинетической и потенциальной энергией.

Это универсальный подход, применимый к механике, электродинамике, квантовой механике и теории поля.

Примеры:

Свободное падение: Тело падает по прямой, так как это траектория минимизирует действие.
Оптика (принцип Ферма): Свет распространяется по пути, минимизирующему время прохождения, что эквивалентно принципу наименьшего действия.
Классическая механика: Движение планет по эллиптическим орбитам следует из минимизации действия.

Значение:
Обобщает(!) законы Ньютона, предоставляя более универсальный подход.

Лежит в основе лагранжевой и гамильтоновой механики.
Используется в современных теориях, включая квантовую механику (интегралы по траекториям Фейнмана) и общую теорию относительности.

Принцип наименьшего действия — это не просто математический инструмент, а глубокая идея, связывающая различные разделы физики через концепцию оптимизации.

Отредактировано olafk61 (27.04.2025 18:41)